Ruch drgający harmoniczny – przewodnik do matury z fizyki

Wstęp

🔭 Masz problem z ruchem drgającym harmonicznym? Ten kompletny przewodnik pomoże Ci zrozumieć teorię, wzory i zadania tak, jak tłumaczą to najlepsi nauczyciele.
Artykuł przygotowaliśmy specjalnie dla maturzystów z fizyki rozszerzonej — znajdziesz tu:

wszystkie najważniejsze wzory i pojęcia
przykłady krok po kroku
zadania z rozwiązaniami 💪

A jeśli po lekturze będziesz chciał przećwiczyć temat 'na żywo’ — zapraszamy na korepetycje online z fizyki (szczegóły na końcu wpisu).

👉 Ruch drgający harmoniczny jest jednym z kluczowych zagadnień matury rozszerzonej z fizyki (sprawdź wymagania CKE).

1. Podstawowe pojęcia i definicje ⚙️

Zanim przejdziemy do wzorów, wyjaśnijmy sobie najważniejsze pojęcia, które musisz znać:

Drgania / oscylacje / ruch drgający: ruch, w którym ciało wykonuje powtarzalne wychylenia wokół pewnego położenia równowagi.
Ruch harmoniczny (drgający harmoniczny): szczególny przypadek ruchu drgającego, w którym siła przywracająca (skierowana do środka) jest proporcjonalna do wychylenia i ma zwrot przeciwny do wychylenia (prawo Hooke’a).
Amplituda $A$ : maksymalne wychylenie z położenia równowagi (bez względu na kierunek).
Położenie równowagi: punkt wokół którego odbywają się drgania — to tam siły się równoważą.
Okres drgań $T$ : czas jednego pełnego cyklu drgań (powrót do tego samego wychylenia i kierunku prędkości).
Częstotliwość drgań $f$ : liczba cykli drgań na jednostkę czasu (najczęściej w hercach, Hz).
Częstość kołowa / pulsacja $\omega$ : parametr związany z ruchem harmonicznym, równy $2\pi f$ .
Faza ruchu / faza początkowa $\varphi$ : przesunięcie w fazie, określające, w którym momencie cyklu zaczynamy pomiar czasu.
Prędkość chwilowa, przyspieszenie chwilowe: wartości w danej chwili czasu.
Energia kinetyczna, energia potencjalna, energia całkowita (mechaniczna) w układzie drgającym.

2. Równania ruchu drgającego harmonicznego 🧮

Założenie definicyjne ruchu harmonicznego: siła przywracająca $F$ działająca na ciało jest proporcjonalna do wychylenia $x$ , ze znakiem minus (bo zwrot przeciwny do wychylenia):

$F= -k\codt x$ ,

gdzie $k$ — współczynnik sprężystości układu, $x$ — wychylenie z położenia równowagi.

Z drugiej zasady dynamiki Newtona $F = m\,a$ , mamy:

$m a = -k x \quad \implies \quad a = -\frac{k}{m} x \implies \quad a + \frac{k}{m} x = 0$ .

Zauważmy, że przyśpieszenie to tak naprawdę druga pochodna 'drogi’ po czasie. Otrzymujemy zatem równanie różniczkowe ruchu:

$\ddot{x}(t) + \omega^2 \, x(t) = 0$ ,

gdzie $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ jest częstością kołową.
Rozwiązaniem tego równania jest funkcja sinusoidalna:

$x(t) = A \sin(\omega t + \varphi)$ lub $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)$ ,

gdzie $A$ to amplituda, a $\varphi$ to faza początkowa.

Uwaga 1. Wybór postaci (sinus czy cosinus) zależy od warunków początkowych (położenia, prędkości w chwili $t=0$ ).

Uwaga 2. Podręcznik Fizyka klasa 2 (WSiP) wychodzi od ruchu po okręgu ponieważ równania różniczkowe wykraczają poza zakres materiału szkoły średniej. Finalnie podręcznik pokazuje, że ruch rzutu punktu poruszającego się po okręgu ze stałą szybkością jest ruchem harmonicznym i prezentuje równanie z funkcją sinus, które otrzymaliśmy powyżej. Ze względu na spójność w dalszej części będziemy wykorzystywać (bez straty ogólności) równie oparte na funkcji sinus.

Finalnie przyjmujemy:

$x(t) = A \sin(\omega t + \varphi)$

Faza: Kąt $\omega t$ nazywamy fazą drgań. Przyjmujemy, że wartość fazy $\varphi$ w chwili $t=0$ i $x=0$ wynosi $0$ .

💡

Chcesz, żeby ktoś wytłumaczył Ci to krok po kroku na przykładach?

Umów się na korepetycje online z fizyki – przećwiczymy to razem!

Umów lekcję próbną »

3. Wzory ruchu harmonicznego – prędkość, przyspieszenie i siła 💨

Mając $x(t) = A \sin(\omega t + \varphi)$ , możemy pochodne wyliczyć:

Prędkość chwilowa: $v(t)=A \omega \cos(\omega t + \varphi)$
Można też zapisać (przestawiając fazę): $v(t) = A \omega \sin\bigl(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2}\bigr)$ .

Przyśpieszenie chwilowe: $a(t) = -A \omega^2 \sin(\omega t + \varphi)$
Zatem: $a(t) = -\omega^2 \, x(t)$ – ważna relacja: przyspieszenie jest proporcjonalne do wychylenia, ze znakiem przeciwnym.

Siła działająca na ciało: $F(t) = m\,a(t) = - m A \omega^2 \sin(\omega t + \varphi) = -m \omega^2 \, x(t) = -k\,x(t)$
(co zgadza się z prawem Hooke’a: $k = m \omega^2$ ).

Zależność między prędkością a wychyleniem: $v(t) = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2(t)}$
(co wynika z zależności: $v^2(t) + \omega^2 x^2(t) = \omega^2 A^2$ ).

➡️ Zobacz również definicję i równania ruchu drgającego harmonicznego na Wikipedii.

4. Energia w ruchu drgającym harmonicznym 🔋

W ruchu harmonicznym energia mechaniczna (sumaryczna) jest zachowana (o ile brak oporów). Składa się z energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości.

Energia potencjalna sprężystości: $E_p = \frac{1}{2} k x^2$ .

Energia kinetyczna: $E_k = \frac{1}{2} m v^2$

Podstawiając $v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$ (z wcześniejszej zależności): $E_k = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$

Energia całkowita (mechaniczna): $E = E_p + E_k = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} k (A^2 - x^2) = \frac{1}{2} k A^2$

Zauważmy, że jest ona stała w czasie: $E = \frac{1}{2} k A^2$ .
Rrysunek poniżej prezentuje tą zależność dla przykładowych danych.

Uwaga 1. W skrajnym wychyleniu $x=\pm A$ , energia kinetyczna $E_k = 0$ , cała energia jest potencjalna.

Uwaga 2. W położeniu równowagi $x = 0$ , energia potencjalna $E_p = 0$ , cała energia przechodzi w kinetyczną: $E_k = \tfrac{1}{2} k A^2$ .

🎯

Zadania z energii w ruchu harmonicznym często pojawiają się na maturze.

Skorzystaj z indywidualnych zajęć online, żeby opanować ten dział na 100%!

Zapisz się na zajęcia »

5. Częstotliwość, okres, częstość kołowa ⏱️

Z definicji ruchu:

Częstość kołowa: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ .

Okres drgań: $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ .

Częstotliwość drgań : $f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ .

Zależności między nimi:

$\omega = 2\pi f, \quad f = \frac{1}{T}, \quad T = \frac{2\pi}{\omega}$ .

6. Przykłady szczególnych układów ⚖️

6.1 Układ masa – sprężyna

To klasyczny przykład oscylatora harmonicznego.

Siła sprężystości: $F = -k x$ .

Częstość kołowa: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ .

Okres drgań: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Uwaga 1. W przypadku sprężyny w pionie: drgania wokół położenia równowagi są analogiczne do sytuacji poziomej, a wzory na $\omega$ i $T$ pozostają te same (położenie równowagi zostaje przesunięte).

Uwaga 2. W przypadku układów wielu sprężyn można wyprowadzić wzory na sprężynę zastępczą (równoległe / szeregowe) – wtedy też oblicza się efektywny współczynnik $k$ .

Przykład łączonych sprężyn:

Dwa sprężyny w połączeniu równoległym: $k_{\rm e} = k_1 + k_2$
Dwa sprężyny w połączeniu szeregowym: $\frac{1}{k_{\rm e}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$

6.2 Wahadło proste / matematyczne

Dla małych kątów (zakładamy że $\sin \theta \approx \thetasinθ$ w radianach).

Okres drgań: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}T$ , gdzie $l$ – długość wahadła, $g$ – przyspieszenie ziemskie.

Zakładamy, że masa wahadła jest skupiona w punkcie (punkt materialny) i że nić jest nieważka i nierozciągliwa. To układ nieco inny niż masa-sprężyna, ale często poruszany w kontekście drgań – warto znać oba przykłady.

7. Drgania tłumione i wymuszone 🌊

Choć główny zakres matury rozszerzonej to zazwyczaj ruch swobodny harmoniczny, dobrze znać także pojęcia drgań tłumionych i drgań wymuszonych / rezonansu.

7.1 Drgania tłumione

W sytuacji gdy występuje siła oporu (np. tarcie, opór powietrza), amplituda drgań maleje z czasem. Równanie ruchu ogólnego przyjmuje postać: $\ddot{x} + 2\beta \dot{x} + \omega_0^2 x = 0$ , gdzie $\betaβ$ – współczynnik tłumienia, $\omega_0$ – częstość kołowa układu bez tłumienia.

Rozróżniamy trzy typy drgań tłumionych:

nadkrytyczne (zbyt duże tłumienie)
krytyczne (dokładne graniczne tłumienie)
podkrytyczne (oscylacje wygasają, ale występują drgania)

W typowym zadaniu raczej rzadko musisz wchodzić głęboko w te przypadki, ale dobrze znać wzory (np. okres efektywny dla drgań tłumionych, jeśli tłumienie nie jest duże).

7.2 Drgania wymuszone i rezonans

Jeśli na układ działa siła zewnętrzna okresowa $F_{\rm wym}(t) = F_0 \cos(\omega_{\rm wym} t)$ , to układ może reagować drganiami o tej samej częstości. Gdy częstość wymuszająca $\omega_{\rm wym}$ zbliża się do częstości własnej $\omega_0$ , może wystąpić rezonans — amplituda drgań gwałtownie rośnie.

Wzór na amplitudę drgań wymuszonych (dla układu liniowego) ma charakter: $A_{\rm wym} = \frac{F_0 / m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega_{\rm wym}^2)^2 + (2\beta \omega_{\rm wym})^2}}$ .

W idealnym przypadku (brak tłumienia, $\beta = 0$ ): $A_{\rm wym} = \frac{F_0 / m}{|\omega_0^2 - \omega_{\rm wym}^2|}$

Jeśli $\omega_{\rm wym} = \omega_0$ , następuje rezonans — teoretycznie amplituda dąży do nieskończoności (w rzeczywistości ogranicza ją tłumienie).

🧠

Teraz czas na praktykę – a jeśli coś sprawia Ci trudność, napisz do nas.

Pokażemy Ci, jak rozwiązywać podobne zadania krok po kroku podczas korepetycji online.

Skontaktuj się z nami »

8. Przykłady z ruchu harmonicznego – zadania ✏️

Poniżej znajdziesz zestaw zadań poglądowych do samodzielnego rozwiązania. Od razu pod każdym zadaniem prezentujemy krótkie rozwiązanie, byś mógł/mogła sprawdzić poprawność.

8.1 Sprężystość

Zadanie 8.1.1
Oceń prawdziwość poniższych zdań:
1. Siły międzycząsteczkowe są siłami o naturze grawitacyjnej.
2. Źródłem sił sprężystości jest wyłącznie Ziemia lub inna planeta.
3. Siły międzycząsteczkowe są siłami o naturze elektromagnetycznej.
4. Stabilny kształt ciał stałych jest efektem oddziaływań elektromagnetycznych.

Rozwiązanie 8.1.1
1 – fałsz, 2 – fałsz, 3 – prawda, 4 – prawda.

8.2 Ruch drgający harmoniczny

Zadanie 8.2.1
Ciało wykonuje ruch drgania harmoniczne o amplitudzie $|LO|=|OP|$ .
Uzupełnij zdanie właściwym stwierdzeniem, wybranym spośród A-D, oraz jego wszystkimi poprawnymi dokończeniami, wybranymi spośród 1-3.
Ciało ma

A	największą szybkość	w punkcie	1	O
B	przyśpieszenie o największej wartości		1	O
C	szybkość równą zeru		2	L
D	przyśpieszanie równe zeru		3	P

Rozwiązanie 8.2.1
1 B; 2 A, C; 3 A, C; 4 B

Zadanie 8.2.2
Ciało wykonuje ruch drgania harmoniczne o amplitudzie $|LO|=|OP|$ .
Uzupełnij zdanie właściwym stwierdzeniem, wybranym spośród A-D, oraz jego poprawnym dokończeniem, wybranymi spośród 1-4.
Ruch ciała

A	od L do O	jest ruchem	1	jednostajnie przyśpieszonym.
B	od O do P		2	niejednostajnie przyśpieszonym.
C	od P do O		3	jednostajnie opóźnionym.
D	od O do L		4	niejednostajnie opóźnionym.

Rozwiązanie 8.2.2
1 B; 2 D; 3 B; 4 D

8.3 Równania w ruchu harmonicznym – podstawa

Zadanie 8.3.1
Ciało wykonuje ruch drgający harmoniczny z amplitudą $A = 0{,}10 \; \mathrm{m}$ i częstością kołową $\omega = 5 \; \mathrm{rad/s}$ . Faza początkowa $\varphi = \frac{\pi}{6}$ . Napisz równanie ruchu $x(t)$ . Oblicz wychylenie $x$ w chwili $t = 0{,}2 \; \mathrm{s}$ .

Rozwiązanie 8.3.1
Równanie: $x(t) = 0{,}10 \, \sin(5t + \tfrac{\pi}{6}) \; [\mathrm{m}]$

Dla $t=0,2$ : $x(0{,}2) = 0{,}10 \, \sin(5 \cdot 0{,}2 + \tfrac{\pi}{6}) = 0{,}10 \, \sin(1 + \tfrac{\pi}{6})$

Można obliczyć numerycznie (np. kalkulatorem): $\approx 0{,}10 \sin(1 + 0{,}5236) = 0{,}10 \sin(1{,}5236) \approx 0{,}10 \cdot 0{,}998 \approx 0{,}0998 \, \mathrm{m}$ .

Zadanie 8.3.2
Rysunki poniżej przedstawiają zależność wychylenia od czasu dla dwóch różnych ciał drgających.
a) Zapisz równanie ruchu $x(t)$ obu drgań – wszystkie wielkości wyraź w jednostkach podstawowych SI.
b) Oblicz stosunek częstotliwości drgań oraz stosunek średnich szybkości tych dwóch ciał.

Rozwiązanie 8.3.2
Korzystamy ze wzoru: $x(t)=A\sin(\omega t)$ , gdzie $\omega = 2\pi/T$ .

a)
Dla wykresu po lewej mamy: $A = 2\ \text{cm} = 0,02\ \text{m}, T = 5 - 1 = 4\ \text{s}$ (odległość między szczytami). Stąd $\omega = 2\pi/4 = \pi/2$ i $x(t)=0,02\cdot\sin(\frac{\pi}{2} t)$

Dla wykresu po prawej mamy: $A = 4\ \text{cm} = 0,04\ \text{m}, T = 2,5 - 0,5 = 2\ \text{min} = 120\ \text{s}$ (wynik ma być podany w podstawowych jednostkach SI). Dlatego $\omega = 2\pi/120 = \pi/60$ i $x(t)=0,04\cdot\sin(\frac{\pi}{60} t)$

b)
Częstotliwość drgań można wyrazić wzorem $f=1/T$ . Stąd

$f_{\text{lewy}}/f_{\text{prawy}}=(1/T_{\text{lewy}})/(1/T_{\text{prawy}}) = T_{\text{prawy}}/T_{\text{lewy}} = 120 / 4 = 30$ .

Prędkość średnią możemy zapisać wzorem $v_{\text{śr}} = 4A/T = (2/ \pi)A\omega$ . Zatem iiloraz prędkości średnich zależy tylko od $A\omega$ :

$v_{\text{lewy, śr}}/v_{\text{prawy, śr}} = (0,02\cdot\pi/2)/(0,04\cdot\pi/60) = 15$ .

8.4 Zadania typu „Prędkość, przyspieszenie, siła”

Zadanie 8.4.1
Ciało drga harmonicznie z równania $x(t) = 0{,}05 \sin(10 t)$ (jednostki SI). Oblicz:
a) prędkość w chwili $t = 0{,}1 \, \mathrm{s}$
b) przyspieszenie w tej samej chwili
c) maksymalną siłę działającą na ciało, jeśli jego masa $m = 0{,}2 \, \mathrm{kg}$ .

Rozwiązanie 8.4.1
Mamy $A = 0{,}05 \, \mathrm{m}$ , $\omega = 10 \, \mathrm{rad/s}$ .

a) $v(t) = A \omega \cos(\omega t) = 0{,}05 \cdot 10 \cdot \cos(10 \cdot 0{,}1) = 0{,}5 \cos(1) \approx 0{,}27015\ \mathrm{m/s}$ .
b) $a(t) = -A \omega^2 \sin(\omega t) = -0{,}05 \cdot 10^2 \cdot \sin(1) = -5 \cdot 0{,}84 \approx -4{,}20 \, \mathrm{m/s^2}$ (ponieważ $\sin(1) \approx 0{,}84$ ).
c) Maksymalna siła: $F_{\max} = m \cdot a_{\max} = m \cdot \omega^2 A = 0{,}2 \cdot 10^2 \cdot 0{,}05 = 0{,}2 \cdot 100 \cdot 0{,}05 = 1 \, \mathrm{N}$ .

Zadanie 8.4.2
Układ masa-sprężyna ma masę $m = 0{,}1 \, \mathrm{kg}$ i współczynnik sprężystości $k = 40 \, \mathrm{N/m}$ . Ciężarek wychylono o $x = 0{,}02 \, \mathrm{m}$ i puszczono. Oblicz:
a) częstość kołową $\omega$
b) prędkość w chwili, gdy wychylenie $x = 0$
c) przyspieszenie, gdy wychylenie $x = 0{,}01 \, \mathrm{m}$

Rozwiązanie 8.4.2
a) $\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{40 / 0{,}1} = \sqrt{400} = 20 \, \mathrm{rad/s}$ .
b) W chwili przejścia przez położenie równowagi $x = 0$ , cała energia jest kinetyczna: $E = \tfrac{1}{2} k A^2 = \tfrac{1}{2} m v^2$ . Amplituda $A = 0{,}02$ . Zatem: $v_{\max} = \omega A = 20 \cdot 0{,}02 = 0{,}4 \, \mathrm{m/s}$
c) Przyspieszenie: $a = -\omega^2 x = -20^2 \cdot 0{,}01 = -400 \cdot 0{,}01 = -4 \, \mathrm{m/s^2}$ .

8.5 Zadania dla energii w ruchu harmonicznym

Zadanie 8.5.1
Ciało drga harmonicznie z amplitudą $A = 0{,}1 \, \mathrm{m}$ , współczynnik sprężystości $k = 50 \, \mathrm{N/m}$ . Oblicz:
a) całkowitą energię układu
b) energię kinetyczną i potencjalną, gdy $x = 0{,}05 \, \mathrm{m}$

Rozwiązanie 8.5.1
a) Energia całkowita: $E = \tfrac{1}{2} k A^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 50 \cdot (0{,}1)^2 = 0{,}5 \cdot 50 \cdot 0{,}01 = 0{,}25 \, \mathrm{J}$ .
b) Dla $x = 0{,}05$ :
Energia potencjalna: $E_p = \tfrac{1}{2} k x^2 = 0{,}5 \cdot 50 \cdot 0{,}05^2 = 0{,}5 \cdot 50 \cdot 0{,}0025 = 0{,}0625 \, \mathrm{J}$ .
Energia kinetyczna: $E_k = E - E_p = 0{,}25 - 0{,}0625 = 0{,}1875 \, \mathrm{J}$ .

Zadanie 8.5.2
Koralik przymocowany do wiotkiej sprężyny wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie $2\ \ text{cm}$ . Masa koralika jest równa $20\ \text{g}$ , a jego maksymalna energia potencjalna wynosi $0,04\ \text{mJ}$ .
a) Zapisz wzór na współrzędną przyśpieszenia koralika w zależności od czasu. Wielkości fizyczne występujące we wzorze wyraź w jednostakach SI.
b) Oblicz energię potencjalną i kinetyczną koralika dla wychylenia $x = A/3$ .

Rozwiązanie 8.5.2
Ponieważ zadanie wymaga podania wyniku w jednostkach SI najlepiej w całym zadaniu trzymać się konsekwentnie tych jednostek. Dlatego przeliczamy: $A = 2\ \text{cm} = 0,02\ \text{m}$ , $m = 20\ \text{g} = 0,02\ \text{kg}$ , $E_{\text{p,max}} = 0,04\ \text{mJ} = 0,0004\ \text{J}$ .
a) Ponieważ $E_{\text{p,max}} = kA^2/2$ , mamy

$k = \frac{2E_{\text{p,max}}}{A^2} = \frac{2\cdot 0,0004}{(0,02)^2} = 2\ \text{N/m}$ .

Częstość kołowa to $\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{2}{0,02} = 10\ \text{rad/s}$ . Zate, z wzoru na przyśpieszanie w ruchu harmonicznym ( $t=0$ ) mamy:

$a(t) = -\omega^2 A\sin(\omega t) = -100\cdot 0,02\sin(10t) = -2\sin(10t)\ \text{m/s}$ .

b)Ponieważ

$E_{\text{p}} = kx^2/2 = kA^2/2\cdot (x/A)^2 = E_{\text{p,max}}\cdot (x/A)^2$

oraz $x/A = 1/3$ (treść zadania), $E = E_{\text{k}} - E_{\text{p}}$ , otrzymujemy

$E_{\text{p}} = E_{\text{p,max}}\cdot (\frac{x}{A})^2 = 0,0004\cdot\frac{1}{9}\approx 4,44\cdot10^{-5}\ \text{J}$ ,
$E_{\text{k}} = E - E_{\text{p}} = 0,0004 - 4,44\cdot10^{-5}\approx 3,56\cdot10^{-4}\ \text{J}$ .

8.6 Wahadło matematyczne – zadania

Zadanie 8.6.1
Dwa wahadła matematyczne wykonują w tym samym czasie odpowiednio $n_1 = 20$ i $n_2 = 40$ drgań. Oblicz, w jakim stosunku pozostają ich długości.

Rozwiązanie 8.6.1
W czasie $t$ liczba drgań to $n = t/T \Rightarrow T = t/n$ . Zatem $T_1/T_2 = n_2/n_1$ . Stąd

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{T_1^2\cdot g/ (2\pi)^2}{T_2^2\cdot g/ (2\pi)^2} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2$

(korzystamy ze wzoru $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ ). Podstawiając następnie $n_1/n_2 = 40 / 20 = 2$ otrzymujemy $l_1/L_2 = 4\Rightarrow l_1:l_2 = 4 : 1$ .

Zadanie 8.6.2
Oblicz okres drgań wahadła matematycznego o długości $1,5\ \text{m}$ , jeśli umieścimy je windzie jadącej:
a) w górę z przyspieszeniem (ruch jednostajnie przyśpieszony) $2,5\ \text{m/s}^2$ ,
b) w dół z przyspieszeniem (ruch jednostajnie przyśpieszony) $3,2\ \text{m/s}^2$ ,
c) w górę ze stałą prędkością $v = 2,5\ \text{m/s}$ .

Rozwiązanie 8.6.2
Zauważmy, że w środku windy poruszającej się z przyspieszeniem $a$ efektywne przyspieszenie to $g' = g\pm a$ ( $g' = g + a$ – przyśpiesza ku górze, $g' = g - a$ przyśpiesza ku dołowi), a przy ruchu jednostajnym $g' = g$ – przyśpieszanie się nie zmienia.
Ponieważ: $T=2\pi\sqrt{l/g'}$ oraz $g_{z} = 9,81 m/s^{2}$ (przyśpieszenie ziemskie) otrzymujemy:

a) $g' = 9,81 \text{m/s}^{2} + 2,5 = 12,31\ \text{m/s}^{2}$ $T=2\pi\sqrt{1{,}5/12{,}31}\approx2{,}19\ \text{s}$ .

b) $g' = 9,81 \text{m/s}^{2} - 3,2 = 6,61\ \text{m/s}^{2}$ $T_b=2\pi\sqrt{1{,}5/6{,}61}\approx2{,}99\ \text{s}$

c) $g' = 9,81 \text{m/s}^{2} + 0 = 9,81\ \text{m/s}^{2}$ $T=2\pi\sqrt{1{,}5/9{,}81}\approx2{,}46\ \text{s}$ .

8.7 Zadania – Drgania tłumione / wymuszone / rezonans

Zadanie 8.7.1
Na lince zawieszono dwa wahadła w postaci niewielkich kulek zaczepionych na lekkich i nierozciągliwych niciach. Jedno wahadło ma długość $1\ \text{m}$ (dłuższe), a drugie krótsze, wprawiono w drgania o okresie $1,5\ \text{s}$ . Oblicz, o ile skrócić dłuższe wahadło, aby jego drgania, wywołane drganiami krótszego, odbywały się z maksymalna amplitudą (w rezonansie).

Rozwiązanie 8.7.1
W rezonansie okres dłuższego wahadła musi być równy okresowi wymuszania ( $1,5\ \text{s}$ ). Stąd, potrzebna długość to:

$l=gT^2/4\pi^2\approx\frac{9{,}81\cdot(1{,}5)^2}{4\pi^2}\approx0{,}5591\ \text{m}$ .

Stąd wahadło należy skrócić o $\Delta l=1{,}00-0{,}5591\approx0{,}4409\ \text{m}=44{,}09\ \text{cm}$ .

Zadanie 8.7.2
Ciężarek o masie $50\ \text{g}$ zawieszony na sprężynie o współczynniku sprężystości $20\ \text{N/m}$ wykonuje w pewnym ośrodku drgania o okresie $0,40\ \text{s}$ . Oblicz:
a) współczynnik oporu tego ośrodka,
b) siłę oporu w chwili, gdy $v=0,25\ \text{m/s}$ .

Rozwiązanie 8.7.2
Dane: $m = 50\ \text{g} = 0,05\ \text{kg}$ , $k = 20\ \text{N/m}$ , $T_d = 0,40\ \text{s}$ .

a) Obliczamy współczynnik tłumienia $c$

Z zależności $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\left(c/2m}\right)^2}$ wyliczmy $c =2m\cdot\sqrt{\omega_0^2-\omega_d^2}$ , gdzie

1. częstotliwość własna (bez tłumienia): $\omega_0=\sqrt{k/m}=\sqrt{20{,}0/0{,}05}=\sqrt{400}=20{,}0\ \text{rad/s}$
2. częstotliwość z tłumieniem: $\omega_d=2\pi/T_d=2\pi/0{,}40= 2\pi/0{,}4=5\pi\ \text{rad/s}\approx 15{,}707963\ \text{rad/s}$

Podstawiając co powyższego wzoru na $c$ , otrzymujemy $c=2\cdot0{,}05\cdot12{,}3799\approx 1{,}23799\ \text{kg/s}$ .

b) Siła oporu przy $v=0,25\ \text{m/s}$ : siła lepkościowa $F_d = -cv$ , gdzie $c$ jest wartością wyliczoną w podpunkcie a). Zatem (moduł) $|F_d|=c\cdot v\approx 1{,}23799\cdot0{,}25\approx 0{,}3095\ \text{N}$ .

Uwaga. Siła ta działa w kierunku przeciwnym do prędkości.

Podsumowanie 🎓

Gratuluję — przebrnąłeś/przebrnęłaś przez kompletny przewodnik po ruchu drgającym harmonicznym na poziomie rozszerzonym.

Znasz już wszystkie kluczowe wzory, prawa i przykłady — jesteś o krok bliżej do świetnego wyniku na maturze. 🚀

📖 Przeczytaj również nasz wpis o tym jak efektywnie powtarzać materiał do matury.

Potrzebujesz pomocy z fizyki? 📘

Nie wszystko jeszcze „klika”?
Sprawdź nasze korepetycje online z fizyki rozszerzonej – uczymy dokładnie tego, co pojawia się na maturze: teorię, zadania, schematy rozwiązań i triki egzaminacyjne.

✅ Lekcje 1:1 z nauczycielami, którzy przygotowali już setki maturzystów
✅ Elastyczne godziny i nauka z domu
✅ Pierwsze spotkanie próbne

👉 Umów lekcję próbną lub napisz do nas: kontakt@24edupower.com.

💡 Poznaj również nasze zajęcia z matematyki.

Ruch drgający harmoniczny – kompletny przewodnik do matury rozszerzonej z fizyki

Wstęp

1. Podstawowe pojęcia i definicje ⚙️

2. Równania ruchu drgającego harmonicznego 🧮

Chcesz, żeby ktoś wytłumaczył Ci to krok po kroku na przykładach?

3. Wzory ruchu harmonicznego – prędkość, przyspieszenie i siła 💨

4. Energia w ruchu drgającym harmonicznym 🔋

Zadania z energii w ruchu harmonicznym często pojawiają się na maturze.

5. Częstotliwość, okres, częstość kołowa ⏱️

6. Przykłady szczególnych układów ⚖️

6.1 Układ masa – sprężyna

6.2 Wahadło proste / matematyczne

7. Drgania tłumione i wymuszone 🌊

7.1 Drgania tłumione

7.2 Drgania wymuszone i rezonans

Teraz czas na praktykę – a jeśli coś sprawia Ci trudność, napisz do nas.

8. Przykłady z ruchu harmonicznego – zadania ✏️

8.1 Sprężystość

8.2 Ruch drgający harmoniczny

8.3 Równania w ruchu harmonicznym – podstawa

8.4 Zadania typu „Prędkość, przyspieszenie, siła”

8.5 Zadania dla energii w ruchu harmonicznym

8.6 Wahadło matematyczne – zadania

8.7 Zadania – Drgania tłumione / wymuszone / rezonans

Podsumowanie 🎓

Potrzebujesz pomocy z fizyki? 📘

Zostaw komentarz Anuluj odpowiedź

24EduPower

Menu

Kontakt

Social media